PERSAMAAN KUADRAT

1. Definisi Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan di mana pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua.

Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah, biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... , z. Sedangkan Koefisien adalah bilangan yang memuat variabel dari suku pada bentuk aljabar.

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah sebagai berikut :

Perhatikan contoh persamaan kuadrat berikut ini :

Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dalam x berarti mencari nilai x sedemikian sehingga jika nilai x disubsitusikan pada persamaan tersebut, maka persamaan akan bernilai benar. Penyelesaian persamaan kuadrat disebut juga akar-akar persamaan kuadrat.

2. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar atau menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan faktorisasi, melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat (rumus abc).

a.      Faktorisasi

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi, terlebih dahulu cari dua bilangan yang memenuhi syarat sebagai berikut :

      ·         Hasil kalinya adalah sama dengan ac

      ·         Jumlahnya adalah sama dengan b

Misalkan dua bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah x₁ dan x₂ maka, 

Prinsip dasar yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi adalah sifat perkalian .

b.     Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna

Untuk meyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengubah menjadi bentuk kuadrat sempurna yaitu dengan cara sebagai berikut :

·     Pastikan koefisien dari x² adalah 1, bila belum bernilai 1 bagilah dengan bilangan sedemikian hingga koefisienya adalah 1.

·   Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x kemudian kuadratkan.

·   Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, sedangkan ruas kanan disederhanakan. 

c.      Rumus abc

Dengan menggunakan aturan melengkapkan kuadrat sempurna yang telah dipelajari sebelumnya, maka dapat dicari rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat maka :

    
3.  Jenis - Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Jika diperhatikan cara mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus, maka jenis akar-akar tersebut akan bergantung pada nilai b² – 4ac. Nilai dari b² – 4ac disebut dengan diskriminan, yaitu D = b² – 4ac.

            Beberapa jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai D.

a.       Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berbeda.

b.      Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama atau sering disebut mempunyai akar kembar (sama).

c.      Jika D < 0, maka persamaan kuadrat mempunyai akar yang tidak real (imajiner).

 

4. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar – Akar Persamaan Kuadrat

    Akar – akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut :

   Jika kedua akar tersebut dijumlahkan, maka didapatkan :

   Jika kedua akar tersebut dikalikan, maka didapatkan :

 

 

  Kedua bentuk di atas disebut rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat. 

  Perhatikan Contoh berikut.

 





















5.  Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar – Akarnya

Jika akar-akar persamaan kuadrat diketahui, ada dua cara yang dapat digunakan untuk menyusun     persamaan kuadrat, yaitu :

• Menggunakan rumus perkalian faktor dan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi. Jika x₁ dan  x₂ adalah akar – akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat yang dimaksud adalah : 

• Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar. Jika x₁ dan  x₂ adalah akar – akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah :
  

• Perhatikan Contoh berikut ini !

6. Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar – Akar Persamaan Kuadrat Lain

Untuk menentukan persamaan kuadrat berdasarkan akar – akar persamaan kuadrat lain, perhatikan contoh berikut.

 

Sumber :
Toali, Kasmina. 2013. Matematika untuk SMK/MAK Kelas X. Jakarta : Penerbit Erlangga.